设多项式$f(x)=a_nx_n+\cdots+a_1x+a_0$和$g(x)=b_nx_n+\cdots+b_1x+b_0(n\geq 1)$.$f(x)$和$g(x)$乘起来之后，得到$f(x)g(x)$,规定$x_k(0\leq k\leq 2n)$的系数是$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}$.我们发现，$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}b_ia_{k-i}=\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-1}$,所以满足乘法交换律.

设$p(x)=c_nx_n+\cdots+c_1x+c_0$,我们发现，$[f(x)g(x)]p(x)$的$x_{s}(0\leq s\leq 3n)$的系数是$\displaystyle\sum_{r=0}^s(\sum_{i=0}^ra_ib_{r-i})c_{s-r}=\sum_{i+h+l=s}a_ib_hc_l$.所以满足结合律.